平面上有一個凸3n邊形，其每個頂點上都有一台機器人，每台機器人都射出一道雷射光指向另一台機器人。你每次操作可以選取一台機器人，叫它順時鐘旋轉，直到它的雷射光指向一台新的機器人為止。當三台機器人A、B、C，其中A的雷射光射向B，B的雷射光射向C，而C的雷射光射向A時，我們稱這三台機器人構成一個三角形。試問：至少要多少次操作，才能保證平面上出現n 個三角形？

(2016台灣選訓三階獨立研究2 第二題)

試求所有整係數多項式P(x)使得對所有實數s與t，若P(s)與P(t)皆為整數，則P(st)亦為整數。

(2018 APMO 第五題)

考慮一個大小為2018 × 2019 的西洋棋棋盤，其中每一個格子內都有一個整數。如果兩個格子有一條共同邊，就稱這兩格互為鄰格。在每一回合，你首先從棋盤上選擇一些格子。接著, 對於被選到的每個格子，計算該格的所有鄰格的數字平均值。最後，對於被選到的每個格子，將其內的數字改為其所有鄰格的數字平均值。試問: 不論一開始棋盤上的數字如何分佈，是否都可以在有限回合內，讓所有格子的數字都一樣?

(2019 APMO 第四題)

第四章是我寫的！這個章節介紹了用微積分/分析/微分方程方法解函數方程的有趣技巧。主要想法是首先證明單調性(所以本章中的大多數問題都是R^+的函數方程)，並使用勒貝格單調微分定理。甚至有些問題我還不知道有沒有初等解法。

懸賞：第一個給我Example 50的初等解(不使用微分)的人將贏得20美元美金 :)

下載   AoPS   微積分解函方

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